2  货币增长、铸币税与资产

上一章说明了法定货币为何能够具有正的真实价值，并讨论了固定货币供给下的货币均衡。本章放松货币供给固定的假设，研究货币增长如何影响价格水平、货币回报率、代际资源配置与政府收入。随后，我们把资本等其他资产引入模型，讨论托宾效应与资本的黄金律水平。

2.1 增长的法定货币供给

设名义货币供给按固定比例增长： \[ M_t=zM_{t-1}, \] 其中 \(z\) 是货币供给的总增长因子（gross money growth factor）：

• \(z=1\) 表示货币供给不变；
• \(z>1\) 表示货币供给扩张；
• \(z<1\) 表示货币供给收缩。

对应的货币供给净增长率为 \(z-1\)。由 \(M_{t-1}=M_t/z\) 可得，第 \(t\) 期新增货币量为 \[ M_t-M_{t-1} = \left(1-\frac{1}{z}\right)M_t. \]

假设新增货币直接转移给当期老人。记 \(a_t\) 为第 \(t\) 期每位老人获得的货币转移的真实价值。由于第 \(t\) 期有 \(N_{t-1}\) 位老人，而每单位货币的真实价值为 \(\nu_t\)，转移收支平衡要求 \[ N_{t-1}a_t = \left(1-\frac{1}{z}\right)\nu_tM_t. \]

2.1.1 人口数量不变

第 \(t\) 期年轻人拥有 \(y\) 单位商品，可以用于年轻期消费 \(c_{1,t}\)，也可以购买 \(m_t\) 单位货币。因此，年轻期预算约束为 \[ c_{1,t}+\nu_tm_t\le y. \]

到第 \(t+1\) 期，该个体成为老人。他可以使用年轻时持有的货币，并获得当期新增货币转移，所以老年期预算约束为 \[ c_{2,t+1}\le \nu_{t+1}m_t+a_{t+1}. \]

消去 \(m_t\)，得到生命周期预算约束： \[ c_{1,t} +\frac{\nu_t}{\nu_{t+1}}c_{2,t+1} \le y+\frac{\nu_t}{\nu_{t+1}}a_{t+1}. \]

在稳定货币均衡中，\(c_{1,t}=c_1\)。货币市场出清意味着 \[ \nu_t=\frac{N_t(y-c_1)}{M_t}. \] 因此，货币的总真实回报率为 \[ \frac{\nu_{t+1}}{\nu_t} = \frac{N_{t+1}(y-c_1)/M_{t+1}} {N_t(y-c_1)/M_t}. \]

若人口数量不变，即 \(N_{t+1}=N_t\)，并且 \(M_{t+1}=zM_t\)，则 \[ \frac{\nu_{t+1}}{\nu_t}=\frac{1}{z}. \] 由于价格水平 \(p_t=1/\nu_t\)，价格的总增长因子为 \[ \frac{p_{t+1}}{p_t}=z, \] 对应的净通胀率为 \(z-1\)。

货币供给扩张会降低货币的真实回报率，使年轻人通过持有货币将购买力转移到老年期的条件变差。从这个意义上说，通货膨胀相当于对货币持有者征税，并可能改变代际资源配置。

2.1.2 人口数量增长

现在假设人口按固定比例增长： \[ N_{t+1}=nN_t, \] 其中 \(n\) 是人口总增长因子。在稳定货币均衡中， \[ \frac{\nu_{t+1}}{\nu_t}=\frac{n}{z}. \] 因此，价格的总增长因子与净通胀率分别为 \[ \frac{p_{t+1}}{p_t}=\frac{z}{n}, \qquad \pi=\frac{z}{n}-1. \]

将货币真实回报率代入生命周期预算约束，可得稳定状态下的个人预算约束： \[ c_1+\frac{z}{n}c_2 \le y+\frac{z}{n}a. \] 与之相比，社会计划者面对的可行性约束为 \[ c_1+\frac{c_2}{n}\le y. \]

个人预算线与社会资源约束具有相同斜率，当且仅当 \[ \frac{z}{n}=\frac{1}{n}, \] 即 \(z=1\)。因此，固定名义货币供给能够使个人面对的跨期相对价格与社会真实的跨期转换率一致；若 \(z\ne1\)，货币增长会引入配置扭曲。

当 \(z=1\) 且 \(n>1\) 时， \[ \frac{p_{t+1}}{p_t}=\frac{1}{n}<1. \] 此时价格水平随时间下降。因此，在人口增长的经济中，实现黄金律配置的货币政策会伴随通货紧缩。

2.2 铸币税收入

前面的模型把新增货币转移给老人，因而货币增长表现为代际转移。现在假设政府不再把新增货币返还给私人，而是用它购买商品或支付政府支出。此时，发行货币成为政府融资的一种方式。

第 \(t\) 期政府获得的真实铸币税收入为 \[ G_t = \left(1-\frac{1}{z}\right)\nu_tM_t. \] 设按老年人口计算的人均政府支出为 \[ g=\frac{G_t}{N_{t-1}}. \]

货币市场出清条件为 \[ \nu_tM_t=N_t(y-c_{1,t}). \] 在人口数量不变的稳定状态中，\(N_t=N_{t-1}\) 且 \(c_{1,t}=c_1\)，所以 \[ g = \left(1-\frac{1}{z}\right)(y-c_1). \]

这个式子可以理解为 \[ \text{铸币税收入} = \text{通胀税税率}\times\text{真实货币余额}. \] 其中，\(1-1/z\) 是以期末货币余额为税基表示的通胀税税率，\(y-c_1\) 是私人持有的实际货币余额。

铸币税收入可能呈现类似拉弗曲线的形状。低通胀时，提高 \(z\) 会增加通胀税税率；但通胀过高时，人们会减少货币持有，导致税基收缩，政府收入最终可能下降。铸币税收入的上限取决于货币需求对通胀和利率的敏感程度。

2.2.1 总额税

作为对照，考虑政府向每位老人征收总额税（lump-sum tax）\(\tau\)。个人的两期预算约束为 \[ c_{1,t}+\nu_tm_t=y, \] 以及 \[ c_{2,t+1}=\nu_{t+1}m_t-\tau. \] 消去 \(m_t\) 后，生命周期预算约束为 \[ c_{1,t} +\frac{\nu_t}{\nu_{t+1}}c_{2,t+1} = y-\frac{\nu_t}{\nu_{t+1}}\tau. \]

在人口数量不变且货币供给固定的情形下，\(z=1\) 且 \(\nu_t/\nu_{t+1}=1\)。若 \(\tau=g\)，则 \[ c_1+c_2=y-g, \] 这与社会资源约束 \[ c_1+c_2+g=y \] 完全一致。

因此，总额税可以在不改变年轻消费与老年消费相对价格的情况下筹集政府收入。相比之下，通胀税会改变货币的真实回报率，从而扭曲跨期消费选择。

2.3 资产与资本

此前的 OLG 模型把货币视为唯一的价值储藏手段。当经济中存在资本、土地或私人债务等其他资产时，资产之间的替代关系会影响货币需求以及资本积累。

资产	是否有内在用途	是否能生产	是否需要生产
法定货币	否	否	理论上可以零成本发行
资本	是	是	是
土地或自然资源	是	可能	否，天然存在

先假设资本是唯一的价值储藏手段。年轻人在第 \(t\) 期投入 \(k_t\) 单位商品形成资本，并在第 \(t+1\) 期获得产出。若资本的生产函数为 \[ f(k)=xk, \] 并假设资本在生产后完全折旧，则个人预算约束为 \[ c_{1,t}+k_t\le y \] 和 \[ c_{2,t+1}\le xk_t. \] 消去 \(k_t\)，得到生命周期预算约束： \[ c_{1,t}+\frac{c_{2,t+1}}{x}\le y. \]

这里，资本的总真实回报率为 \(x\)。\(x\) 越高，获得老年期消费所需放弃的年轻期消费越少。

如果法定货币、资本、土地和私人债务是完全替代的资产，那么，只要两种资产在均衡中都被持有，它们的回报率就必须相等。以资产 A 和资产 B 为例：

• 若 \(R_A>R_B\)，投资者不会持有资产 B；
• 若 \(R_A<R_B\)，投资者不会持有资产 A；
• 只有当 \(R_A=R_B\) 时，两种资产才可能同时被持有。

现实中的资产通常不是完全替代品。它们在风险、流动性、信息摩擦和交易成本等方面存在差异。因此，即使货币的回报率较低，人们仍可能因为货币具有较高流动性而持有它。

2.3.1 托宾效应

在增长货币供给的模型中，法定货币的总真实回报率为 \[ \frac{n}{z}. \] 当货币增长因子 \(z\) 上升时，货币的真实回报率下降。若资本和货币是可替代的储蓄工具，并且二者都被持有，则均衡要求 \[ f'(k^*)=\frac{n}{z}. \]

现在令货币增长因子从 \(z\) 上升至 \(z'\)，其中 \(z'>z\)。于是 \[ \frac{n}{z'}<\frac{n}{z}. \] 货币回报率下降后，个人会减少货币持有并增加资本持有。若 \(f'(k)\) 递减，资本存量会增加，直到 \[ f'(k)=\frac{n}{z'}. \]

这就是托宾效应（Tobin effect）：预期通胀上升降低货币的真实回报率，促使私人资产组合从货币转向资本，从而提高资本存量。

2.3.2 资本的黄金律水平

含资本经济的总资源约束为 \[ N_tc_{1,t}+N_{t-1}c_{2,t}+N_tk_t \le N_ty+N_{t-1}f(k_{t-1}). \] 将两边除以 \(N_t\)，并利用 \(N_{t-1}/N_t=1/n\)，在稳定配置下可得 \[ c_1+\frac{c_2}{n}+k \le y+\frac{f(k)}{n}. \] 等价地， \[ c_1+\frac{c_2}{n} \le y+\left[\frac{f(k)}{n}-k\right]. \]

括号中的 \(f(k)/n-k\) 是资本对每位年轻人可消费资源的净贡献。为了使可分配资源最大化，社会计划者选择 \(k\) 以最大化 \[ \frac{f(k)}{n}-k. \] 一阶条件为 \[ \frac{f'(k)}{n}-1=0, \] 因此资本的黄金律水平满足 \[ f'(k)=n. \]

若 \(f'(k)>n\)，资本的边际收益高于社会机会成本，应增加资本；若 \(f'(k)<n\)，资本存量过高，应减少资本。由于 OLG 模型中的私人储蓄者只考虑自身生命周期效用，分散经济中的资本积累水平不一定等于社会最优水平。

Note思考

2007 年金融危机后，美国货币基础大幅增加，但通胀率并未同步显著上升。如何从货币需求、银行准备金和资产替代关系的角度解释这一现象？